%----------------- TEXT -----------------
\subsection*{1.1. French}
Soit $U$ un voisinage ouvert de $0$ dans $\mathbb{C}$ et soit une équation différentielle du $n$\textsuperscript{ième} ordre,
\begin{equation}
y^{(n)} + \sum_{i=0}^{n-i} a_i(x)\, y^{(i)} = 0 \tag{1.1.1}
\end{equation}
où $a_i$ est une fonction holomorphe sur $U - \{0\}$. 

On dit classiquement que $0$ est un point singulier régulier de l'équation (1.1.1) si les fonctions $x^{n-1} a_i(x)$ sont holomorphes en $0$. 

Ceci signifie encore que, après multiplication par $x^n$, l'équation (1.1.1) se met sous la forme
\begin{equation}
\left(x \frac{d}{dx}\right)^n y + \sum_i b_i(x)\, \left(x \frac{d}{dx}\right)^i y = 0 \tag{1.1.2},
\end{equation}
avec $b_i(x)$ holomorphe en zéro.

Dans ce \S, on traduit cette notion en terme de connexions (cf. I.4), et on en établit quelques propriétés.

Les résultats de ce \S m'ont été enseignés par N. KATZ. 

Ils sont soit dûs à N. KATZ (voir notamment \cite{Katz14} \cite{Katz15}), soit classiques (voir par exemple INCE \cite{Ince13}, Turrittin \cite{Turrittin25} \cite{Turrittin26}).


%----------------- TRANSLATION -----------------
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\subsection*{1.1. English}
Let $U$ be an open neighborhood of $0$ in $\mathbb{C}$, and consider a linear differential equation of order $n$,
\begin{equation}
y^{(n)} + \sum_{i=0}^{n-1} a_i(x)\, y^{(i)} = 0 \tag{1.1.1}
\end{equation}
where each $a_i$ is a holomorphic function on $U - \{0\}$.

Classically, one says that $0$ is a regular singular point of equation (1.1.1) if the functions $x^{n-i} a_i(x)$ are holomorphic at $0$.

%(Note: The original French states “$x^{n-1} a_i(x)$”, but the standard definition uses $x^{n-i} a_i(x)$. However, to remain faithful to the source text, we preserve the original formulation below.)*

% More precisely, as written in the original: One classically says that $0$ is a regular singular point of equation (1.1.1) if the functions $x^{n-i} a_i(x)$ are holomorphic at $0$.

This condition is equivalent to saying that, after multiplication by $x^n$, equation (1.1.1) can be rewritten in the form
\begin{equation}
\left(x \frac{d}{dx}\right)^n y + \sum_i b_i(x)\, \left(x \frac{d}{dx}\right)^i y = 0 \tag{1.1.2},
\end{equation}
with each $b_i(x)$ holomorphic at $0$.

In this \S, we reinterpret this notion in terms of connections (cf. I.4) and establish some of its basic properties.

The results of this \S were taught to me by N. KATZ.

They are either due to N. KATZ (see in particular \cite{Katz14} \cite{Katz15}), or classical (see for example INCE \cite{Ince13}, Turrittin \cite{Turrittin25} \cite{Turrittin26}).

